帽子には内側に黒いリボンがついています。

私は専門学校・修行していたアトリエでは『サイズリボン』と呼び、グログラン製とテトロン製のものをよく使っています。

工場や企画会社などでは、『スベリ』『ビンカワ』とも呼ばれています。

英語では『Petersham 』と呼ばれています。
『Petersham 』とは、厚地のうね織絹製や綿製のリボンのことなので、日本でGrosgrain（グログラン・フランス語）と呼ばれているものと一緒のはずです。

このサイズリボンの役割は、帽子を頭に安定させるためにサイズ元に縫い付けます。
頭やおでこに密着するため、吸湿性の良い素材がオススメです。

紳士物の帽子には革製のサイズリボンがよく用いられています。
おでこに当たった時に、少し冷たく感じるのがオススメ。

婦人物のストロー・フェルトハットなどの帽体帽子や、一点物のお帽子、オーダー品などにはグログランリボンを、
布帛の既製品などには洗濯を考慮して、テトロン製のサイズリボンを使用することが多いです。

近頃のオススメは、マジックテープが内蔵されていて、少しサイズ調整ができるようになった、テトロン製のサイズリボン。
大阪・百々株式会社
https://www.dodo-boushi.com/sweat-band
サイズ調整ビンカワ（セベリス/芯付き）

そのほか、機能性重視なサイズリボンもいろいろあります。

リボンの色ですが、黒がついていることが多いのですが、表地・裏地などの色に合わせてお楽しみください。
リボン状のものに限らず、布地や革で2~3cm幅のものを用いるのもオススメです。

[[[ Grosgrain Ruban ]]]フランスの帽子百科事典から
Grosgrain Ruban appelé aussi coussin quand il est place à l'intérieur du chapeau de femme.
グログランリボンは、女性の帽子の内側に置かれるクッションとも呼ばれています。（うん、フランス語ってかわいい。）

頭のサイズにあった帽子をぜひ被ってくださいね。